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两全等三角形的对应角相等。
同一三角形中等边对等角。
等腰三角形中，底边上的中线(或高)平分顶角。
两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
同角(或等角)的余角(或补角)相等。
同圆(或圆)中，等弦(或弧)所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
相似三角形的对应角相等。
圆的内接四边形的外角等于内对角。
等于同一角的两个角相等
教学目标
1、使学生认识时间单位年、月、日，了解它们之间的关系。
2、培养学生感受数学和实际生活的紧密联系，激发学生学习的积极性，同时对学生进行珍惜时间的教育。
教学重难点：认识时间单位年、月、日，了解它们之间的关系，记住各月的天数。
教具、学具。挂图、年历
一、创设情境 引入新课
1、同学们，你们知道今天是几月几日吗?(学生回答)你是怎么知道的?
2、生活中每天都有很多事情发生，在一年中有很多值得纪念的重大节日，请同学们仔细观察(出示挂图)图上描述的是什么事?你知道这些事发生的时间吗?把你知道的跟同学说一说好吗?
3、你们还知道哪些有意义的日子呢?
4、今天我们就来学习有关年、月、日的知识。
板书：年、月、日
二、自主探索 合作学习
1、认识年历
师：请同学们拿出自己的年历，认真观察，你可以从年历上直接了解到哪些知识?
①让学生独自观察
②同桌讨论
③你们能根据年历回答问题吗?
一年有几个月?板书：一年12个月
哪几个月是31天?哪几个月是30天?
二月有多少天?一年有多少天?
板书：大月(31天)：一、三、五、七、八、十、十二、
小月(30天)：四、六、九、十一、
特殊月(28天)：二
2、教学生记天数的方法
我们知道了每个月的天数，也知道大月和小月，有没有好的办法让我们很快的记住每个月的天数呢?
(1)可以用拳头帮助记忆。凸起的地方每月是31天，凹下的地方每月是30天(二月除外)
师做示范 学生动手数一数
(2)老师再介绍一首儿歌，帮你们记住一年中的大月。( 出示儿歌)
板书：一、三、五、七、八、十、腊，三十一天永不差。
3考考你
你们都记住了吗?现在老师可要考考你们了。
①你的生日是几月几日?你父母的生日是几月几日，用笔在年历上画出来，并说说是大月还是小月。
②老师的生日是大月的第二个月，你知道是几月吗?
4、游戏
我们一起轻松一下，玩个小游戏吧，老师报月份，如果是大月就请同学们举右手，是小月就请同学们举左手，明白了吗?
三、巩固练习
完成课本48页做一做
四、本课小结;
1、通过这节课的学习，你们都学会了哪些知识?
2、教师总结：
板书设计： 年、月、日
一年12个月
大月(31天)：一、三、五、七、八、十、十二
小月(30天)：四、六、九、十一
特殊月(28天)：二
一、三、五、七、八、十、腊，三十一天永不差。
直接证明法直接证明法是最常见的一种证明的方法，它通常用作证明某一类东西具有相同的性质，或者符合某一些性质必定是某一类东西。直接证明法有两种思路，第一种是从已知的条件来推出结论，即看到条件的时候，并不知道它怎么可以推出结论，则可以先从已知条件按照定理推出一些中间的条件(这一步可能是没有目的的，要看看从已知的条件中能够推出些什么)，接着，选择可以推出结论的那个条件继续往下推演;另外一种是从结论反推回条件，即看到结论的时候，首先要反推一下，看看从哪些条件可以得出这个结论(这一步也可能是没有目的的，因为并不知道要用到哪个条件)，以此类推一直到已知的条件。通常这两种思路是同时进行的。
反证法反证法是证明那些“存在某一个例子或性质”，“不具有某一种的性质”，“仅存在”等的题目。它的方法是首先假设出所求命题的否命题，接着根据这个否命题和已知条件进行推演，直至推出与已知条件或定理相矛盾，则认为假设是不成立的，因此，命题得证。
构造法证明“存在某一个例子或性质”的题目，我们可以用反证法，假设不存在这样的例子和性质，然后推出矛盾，也可以直接构造出这么一个例子就可以了。这就是构造法，通常这样的题目在图论中多见。值得注意的是，有一些题目其实也是本类型的题目，只不过比较隐蔽罢了，像证明两个集合等势，实际上就是证明“两个集合中存在一个双射”，我们即可以假设不存在，用反证法，也可以直接构造出这个双射。
数学归纳法数学归纳法是证明与自然数有关的题目，而且这一类型的题目可以递推。作这一类型题目的时候，要注意一点就是所要归纳内容的选择。
根据平时的数学考试所用时间规律，考前浏览整张卷子，合理分配数学考试题目的答题时间，对于考试时间自己有一个合理的安排，会使考生们在答题时更有信心，根据考试剩余时间和自己的答题状况有计划的进行答题。有技巧的答题，不要盲目答题而忽略考试时间，导致没有足够的时间检查错误。
在高考数学答题时，大家按照数学试卷中题目的顺序开始答题，因为在出卷子时，老师们一般都是按照知识的难易顺序安排的考题，由易到难，缓解同学们考试的压力，使同学们渐渐的进入考试状态。但是当遇到某道题一点思路都没有或者完全不会的题时，大家暂时跳过这一题，不要浪费过多的时间，先答后面有把握拿到分的数学题，更后剩余的时间攻克数学难题，因为高考数学考试时间有限，合理规划时间的方法在高考中很实用。
高考数学答题时对于题目的时间利用方面，大家不要因小失大，在能保证拿得到的分数的同时，应该去争取更多的分。但是不能为了解决一道数学选择题而白白浪费10分钟的答题时间。跟据高考数学题目的分值分配答题时间，分值大的题目就应该占用更多的分值。
最后，在整张高考数学卷子发下来的时候，一定要听从监考老师的安排，检查卷子的完整性，不要节省一两分钟的时间，如果有什么问题及时和老师反映，因为在高考数学考试时，思维的完整性和连贯性很重要，如果中途发现出现了问题，既影响时间又会打断答题的连贯思路，白白浪费时间，高考是一场严肃的考试，所以考试要掌握一些高考应试技巧及方法。
1、等腰三角形
(1)三角形全等的性质及判定
全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、
(2)等腰三角形的判定、性质及推论
性质：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)
判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即“三线合一”)
(3)等边三角形的性质及判定定理
性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度;等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质;等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。
判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。
(4)含30度的直角三角形的边的性质
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2、直角三角形
(1)勾股定理及其逆定理
定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
(2)直角三角形两个锐角之间的关系
定理：直角三角形两个锐角互余。
逆定理：有两个锐角互余的三角形是直角三角形。
(3)含30度的直角三角形的边的定理
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
逆f对的锐角是30度。
(4)命题与逆命题
命题包括已知和结论两部分;逆命题是将倒是的已知和结论交换;正确的逆命题就是逆定理。
(5)直角三角形全等的判定定理
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)
3、线段的垂直平分线
(1)线段垂直平分线的性质及判定
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
(2)三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。(该点称为三角形的外心)
(3)如何用尺规作图法作线段的垂直平分线
分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N;作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。
4、角平分线
(1)角平分线的性质及判定定理
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等;
判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
(2)三角形三条角平分线的性质定理
性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。(该点称为三角形的内心)
教学内容：
十几减9
第1———2页。
教学目的：
1、让学生经历从实际情况里提出问题，并解决问题的过程，理解十几减9的计算方法，能准确算出十几减9的减法算式
2、通过让学生动手操作、实践，在实践中探究解决问题的方法，重视算法多样化，发展学生的创新意识和培养求异精神。
3、利用所学知识解决生活中相应的实际问题，体会到数学知识在生活中的重要作用。
教学重、难点：
让学生通过动手操作实践，共同合作，探究十几减9的计算方法。
教具准备：
相应的CAI课件、口算卡片
教学过程：
一、创设情景，提出问题。
猴子卖桃(小猴子有13个桃，小兔买走9个。)
问：小兔买走9个以后还剩几个?
你是怎样知道还剩4个?
引导学生说出：小猴原来有13个桃，卖了9个后，还剩下4个。
问：你能根据猴子卖桃的情景列出算式来吗?
板书：13—9
二、自主探究，领悟算法。
1、问：怎样才能准确地算出13—9=?
请同学们认真想一想，可以借助你手中的学具摆一摆，以四人小组为单位想一想。
2、各小组汇报活动结果。
每个组先派代表上讲台演示，发表意见解释自己的想法。随后允许同一小组的其他同学对自己组中发言的同学作补充，指导学生有条理的表达。
有的学生会从13个小圆片了一个一个地减连续减去9个剩下4个;
有的学生从10个一堆里减去9个，再把剩下的1个和3个一堆的合在一起，的出剩下4个;
有的学生先减去3个一堆的再从10个一堆了拿走6个剩下4个;
有的学生这样想：因为9加4等于13，所以13减9等于4;
3、教师对学生想出的正确算法给予肯定与表扬。
问：在那么多种算法中，你最喜欢哪一种算法?并说说你为什么喜欢这种算法。
4、用你喜欢的方法计算：
12—9=¨
16—9=¨
三、巩固练习，深化运用。
1、“想想做做”第1题;
学生看图，理解图意后，让学生用自己喜欢的算法准确计算15—9=17—9=
2、对比练习;
以小组合作为单位填写，然后说说上下两题有什么联系?
例如：当你看到9+2=11时，你会想到什么?初步让学生认识加、减互逆关系。
3、口算竞赛(完成书本2页第5题);
让知道答案的学生马上站起来回答。
4、归类整理;
把第5题的算式按规律排列整理如下：
11—9= 14—9= 17—9=
12—9= 15—9= 18—9=
13—9= 16—9= 19—9=
5、引导学生观察，初步感知十几减几的技巧。
设置小组讨论制度，让学生多多思考
证明题和其他题目的解题方法与众不同，解决证明题需要学生多多思考、自己探索。而小组讨论则是激励学生思考，提高学生逻辑思维能力和自主学习能力的重要途径之一，同时在讨论过程中，同学之间还可以交流感情。例如有这样一条题目，“证明有两条高相等的三角形是等腰三角形。”最难解决的证明题就是题目很短、平时作为结论来记、没有图形的。这个证明题也许教师平时就当成应该记住的结论教给学生，因此学生在面对这个证明题的时候显得不知所措，这不是学生一定不会做，而是学生的思路还没有打开。这时候教师不能直接给学生解题思路，这样学生没有思考的过程学生就会很容易忘记，这时候教师就可以采用小组讨论的方法。
在此过程中，教师要根据学生的性格特点、兴趣爱好、擅长领域、学习成绩和学习能力等进行分组，因为大家都存在一定的差异和相同之处。正是因为成员之间存在异质性，使得小组之间产生同质性。教师在构建互助小组的过程中尽量遵循优、中、差交错组合的原则，以便讨论交流时发挥各自的特长和优势，使各个小组保持基本一致的总体水平，为接下来的竞争提供了公平条件。同时，尽管小组成员之间是搭档关系，但从另一角度考虑，学生不应该只把其余小组列为心中的竞争对象，更需要向同伴讨教经验并总结心得，把他们设置为学习参照物，取长补短，提高自我的学习能力。俗话说学习就好比一场旅行，行程中看到的美景亦或是不如意之处都要巧妙化解为前进的动力。然而在小组讨论的过程中，教师也要在这个时间段不断巡视，避免学生利用这个时间点做一些无关紧要的事情。同时也可以在巡视过程中了解学生的讨论进度，从而有依据的把握讨论时间以节约课堂时间、提高教学效率。
合理使用现代信息技术，提高教学效率
证明题的解题过程一般是成系统的，解题过程比较长并且有多种解题方法，教师一节课只能讲解一道证明题的现象普遍存在，这样的解题效率就十分低下，因此教师需要借助现代信息技术，利用课余时间仔细备课，在上课之前讲解题过程录入到电脑里面。这样教师就可以在课堂上讲解思考过程，然后具体步骤通过多媒体体现出来，这样就可以大大提高解题速度，教师在有限的课堂上就可以讲更多的题目。
例如：有这样一条题目，“在三角形ABC中，AB等于AC，E为AC延长线上一点，ED垂直于BC，求证三角形AEF是等腰三角形。”这条题目有配图，教师直接用粉笔在黑板上画图有不准确性，因此教师这时候就可以利用现代信息技术，用计算机技术画图，这样可以大大提高准确性。在此过程中，教师要向学生讲解现代信息技术的弊端，避免学生因此迷恋上网络。通过现代信息技术可以找到大量的资料，也为学生提供了一个很好的学习的平台，在此过程中教师要请家长进行监督，不能让学生利用这个借口玩电脑游戏。在初中这个关键阶段，如果学生对网络上瘾做一些与学习无关的事情，这样容易产生事倍功半的效果。容易让学生沉迷于网络世界无法自拔，这对学生的学习成绩并没有什么帮助。在此过程中，为了避免出现在这一情况，教师可以确定固定的咨询时间并且让家长帮忙监督，这样就可以在很大程度上减少现代信息技术的弊端。
两全等三角形中对应边相等。
同一三角形中等角对等边。
等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
角平分线上任一点到角的两边距离相等。
过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
同圆(或等圆)中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
两前项(或两后项)相等的比例式中的两后项(或两前项)相等。
两圆的内(外)公切线的长相等。
等于同一线段的两条线段相等。
读题要细心
有些学生一看到某一题前面部分有似曾相识的感觉，就直接写答案，这种还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可取，我们应该逐个条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置.?
要记.
这里的记有两层意思.第一层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来.如给出对边相等，就用边相等的符号来表示;第二层意思是要牢记，题目给出的条件不仅要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就可以把题目复述出来.?
要引申
难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来，所以我们要会引申，那么这里的引申就需要平时的积累，平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固，平时训练的一些特殊图形要熟记，在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论，然后在图形旁边标注，虽然有些条件在证明时可能用不上，但是这样长期的积累，便于以后难题的学习.?
对于读题这一环节，我们之所以要求这么复杂，是因为在实际证题的过程中，学生找不到证明的思路或方法，很多时候就是由于漏掉了题中某些已知条件或将题中某些已知条件记错或想当然地添上一些已知条件，而将已知记在心里并能复述出来就可以很好地避免这些情况的发生.
主动预习
预习是主动获取新知识的过程，有助于调动学习积极主动性，新知识在未讲解之前，认真阅读教材，养成主动预习的习惯，是获得数学知识的重要手段。
因此，要注意培养自学能力，学会看书。如自学例题时，要弄清例题讲的什么内容，告诉了哪些条件，求什么，书上怎么解答的，为什么要这样解答，还有没有新的解法，解题步骤是怎样的。
抓住这些重要问题，动脑思考，步步深入，学会运用已有的知识去独立探究新的知识。
主动思考
很多同学在听课的过程中，只是简简单单的听，不能主动思考，这样遇到实际问题时，会无从下手，不知如何应用所学的知识去解答问题。
主要原因还是听课过程中不思考惹的祸。除了我们跟着老师的思路走，还要多想想为什么要这么定义，这样解题的好处是什么，这样主动去想，不仅能让我们更加认真的听课，也能激发对某些知识的兴趣，更有助于学习。
靠着老师的引导，去思考解题的思路;答案真的不重要;重要的是方法!
拓宽解题思路
数学解题不要局限于本题，而要做到举一反三、多思多想，解答完一个题目，要想想有没有其他更加简便的方法，这样能够帮助大家拓宽思路，这样在以后的做题过程中就会有更多的选择。
必须要有错题本
说到错题本不少同学都觉得自己的记忆力好，不需要错题本就能记住，这是一种“错觉”，每个人都有这种感觉，等到题目增多，学习内容加深，这时就会发现自己力不从心了。
错题本能够随时记录自己的知识短板，帮助强化知识体系，有助于提升学习效率。有很多学霸都是因为积极使用了错题本，而考取了高分。
第一节. 等腰三角形
性质：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边).
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(即“三线合一”).
等边三角形的性质及判定定理
性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°;等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.
判定定理：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.
第二节.直角三角形
勾股定理及其逆定理
定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
含30°的直角三角形的边的性质
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边等于斜边的一半.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
要点诠释：勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
第三节. 线段的垂直平分线
线段垂直平分线的性质及判定
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.该点就是三角形的外心。以此外心为圆心，可以将三角形的三个顶点组成一个圆。
如何用尺规作图法作线段的垂直平分线：
分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N;作直线MN就是线段AB的垂直平分线。
第四节. 角平分线
角平分线的性质及判定定理
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等;
判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.
三角形三条角平分线的性质定理
性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.这个点叫内心
通用篇
真命题与假命题
真命题：真命题就是正确的命题，即如果命题的条件成立，那么结论一定成立。
假命题：条件和结果相矛盾的命题是假命题，
命题与逆命题
命题包括已知和结论两部分;逆命题是将原命题的已知和结论交换;
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。这两个定理称为互逆定理。
2、证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
(2)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用数学语言写出“已知”和“求证”;
(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因“
(5)依据思路,运用数学语言条理清晰地写出证明过程;
(6)检查表达过程是否正确,完整.
3、用反证法证明几何命题的步骤：
(1)假设命题的结论不成立.
(2)由假设作为条件,根据已知条件及学过的定义、定理、公理进行逐步的推导直至与假设或与某个己知条件或与学过的某个定义、定理、公理出现矛盾.
(3)从而判断假设错误,原命题成立.
可以尝试将离散数学拆成三部分来学：集合论与数理逻辑、近世代数(抽象代数)和图论，当然还夹杂部分经典的算法。
离散数学中的概念和定理偏多，思维较抽象，证明强调技巧性但变化不多。我觉得这是一门很需要找“感觉”的数学科目。首先要强记所学内容的相关定义和定理，随后学习证明过程时必须结合定义和定理，即每推一步就弄清其根据的是什么定义或定理。用这种方法学习一段时间后对证明就有一定感觉了，再做证明题就会感觉顺手很多。
了解概念是必要的，如果概念没有了解清楚，就无法很好的了解各种定理了。初学者学习离散数学一定要对概念弄清楚是怎么来的，基于什么客观事实，所有的离散概念都源于实践，因此，如果脱离实践去单纯的了解离散中的概念会很难理解。《离散数学及其应用》是一本我个人觉得比较全面的书，但是建议还是配套一些国内的书籍看，比如现在普遍使用的曲婉玲老师的教材。这两本相互补充。教学中，我会采用曲婉玲老师的教材，难度适中，但是很多定理没有证明，就补充离散数学及其应用帮助理解。
离散数学的内容几乎都可以用编程实现的……然而，用程序员观点写的离散数学还是很少的，我只知道两三本，名字暂时忘了。rosen的那本有不少程序，书很厚!怎么学?看概念，然后做题。快毕业了才发现，离散数学才是最有用的书。
实际解题中存在的问题
当前数学习题教学中普遍存在效率低、教学效果差等现象，主要体现在例题的选择具有随意性、缺乏典型性、题量过大，课堂内容对提高学生的解题能力帮助不大，使得学生盲目地做题，只见练习题目的增加，却看不到效果。从学生的解题过程中我们不难看出，每个班级学生的解题思路和解题模式，基本上是一致的，师从一处，学生很少会有新的解题思路和新的解题方法。这将严重影响学生解题效率的提高。
利用反证法拓宽学生的思路
反证法是一种论证方式，首先假设某命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。这种方法属于间接解法，就是当我们面临的是一道从正面入手复杂繁难，或在特定场合甚至找不到解题依据的题目时，要随时改变思维方向，从结论的反面进行思考，以便化难为易，顺利地解出该题，从而大大提高学生的解题效率。
应用一题多解拓宽学生的思路
一题多解是指在教师的启发、引导下，对一道题引导学生提出两种、三种甚至更多种解法，课堂成为学生合作、争辩、探究、交流的场所，能极大地提高学生的学习兴趣。而且，在一题多解的过程中，还有助于锻炼学生的创新思维，思维的灵活性，以促使学生获得更好的发展。因此，教师要鼓励学生进行一题多解，引导学生从不同的角度、不同的方向找到解题的切入点，以促使学生的解题效率得到大幅度提高。
“授人以鱼，不如授人以渔。”
即是说在实际教学中，教师要教会学生学习的方法，激发学生的创造性思维。因此，在教学过程中，教师要拓宽学生的解题思路，要鼓励学生轻松地掌握基本的数学解题方法，营造学生个性发展的空间，提高学生的解题能力，以大幅度提高学生的解题效率，从而起到事半功倍的效果。
一、合情推理
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论;
类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质。在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质。
二、演绎推理
演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的.大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确，一定要注意推理过程的正确性与完备性。
三、直接证明与间接证明
直接证明是相对于间接证明说的，综合法和分析法是两种常见的直接证明。综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法(或顺推证法、由因导果法)。分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法。
间接证明是相对于直接证明说的，反证法是间接证明常用的方法。假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
四、数学归纳法
数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。
指导学生用数学方法中的“分析法”，执果索因，一步一步探究证明的思路和方法.
教师用启发性的语言或提问指导学生，学生在教师的指导下经过一系列的质疑、判断、比较、选择，以及相应的分析、综合、概括等认识活动，思考、探究，小组内讨论、交流、发现解决问题的思路和方法.而对于分析证明题，有三种思考方式：?
正向思维.对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出.?
逆向思维.
顾名思义，就是从相反的方向思考问题.运用逆向思维解题，能使学生从不同角度、不同方向思考问题，探索解题方法，从而拓宽学生的解题思路.这种方法是推荐学生一定要掌握的.在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显，数学这门学科知识点很少，关键是怎样运用，对于初中几何证明题，最好用的方法就是用逆向思维法.如果学生已经上九年级了，证明题不好，做题没有思路
那一定要注意了：从现在开始，总结做题方法.有些学生认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议从结论出发.例如：可以有这样的思考过程：要证明某两个角相等，那么结合图形可以看出，有可能是通过证两条边相等，等边对等角得出;或通过证某两个三角形全等即可;要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要什么，是否需要做辅助线，这样思考下去……我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了.这是非常好用的方法.?
正逆结合.
对于从结论很难分析出思路的题目，我们可以结合结论和已知条件认真的分析，初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们某个角的角平分线，我们就要想到会得到哪两个角相等，或者根据角平分线的性质会得到哪两条线段相等.给我们梯形，我们就要想到是否要做辅助线，是作高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等的辅助线.正逆结合，战无不胜.
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程。离散数学以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数个元素，因此他充分描述了计算机科学离散性的特点。
1、定义和定理多。
离散数学是建立在大量定义上面的逻辑推理学科。因而对概念的理解是我们学习这门学科的核心。在这些概念的基础上，特别要注意概念之间的联系，而描述这些联系的实体则是大量的定理和性质。
●证明等价关系：即要证明关系有自反、对称、传递的性质。
●证明偏序关系：即要证明关系有自反、反对称、传递的性质。(特殊关系的证明就列出来两种，要证明剩下的几种只需要结合定义来进行)。
●证明满射：函数f：_Y，即要证明对于任意的yY，都有_
或者对于任意的f(_1)=f(_2)，则有_1=_2。
●证明集合等势：即证明两个集合中存在双射。有三种情况：第
一、证明两个具体的集合等势，用构造法，或者直接构造一个双射，或者构造两个集合相互间的入射;第
二、已知某个集合的基数，如果为?，就设它和R之间存在双射f，然后通过f的性质推出另外的双射，因此等势;如果为?0，则设和N之间存在双射;第
三、已知两个集合等势，然后再证明另外的两个集合等势，这时，先设已知的两个集合存在双射，然后根据剩下题设条件证明要证的两个集合存在双射。
●证明群：即要证明代数系统封闭、可结合、有幺元和逆元。(同样，这一部分能够作为证明题的概念更多，要结合定义把它们全部搞透彻)。
●证明子群：虽然子群的证明定理有两个，但如果考证明子群的话，通常是第二个定理，即设是群，S是G的非空子集，如果对于S中的任意元素a和b有a_b-
1是的子群。对于有限子群，则可考虑第一个定理。
●证明正规子群：若是一个子群，H是G的一个子集，即要证明对于任意的aG，有aH=Ha，或者对于任意的hH，有a-1 ___H。这是最常见的题目中所使用的方法。 ●证明格和子格：子格没有条件，因此和证明格一样，证明集合中任意两个元素的最大元和最小元都在集合中。
图论虽然方法性没有前几部分的强，但是也有一定的方法，如最长路径法、构造法等等 下面讲一下离散证明题的证明方法：
1、直接证明法
直接证明法是最常见的一种证明的方法，它通常用作证明某一类东西具有相同的性质，或者符合某一些性质必定是某一类东西。
直接证明法有两种思路，第一种是从已知的条件来推出结论，即看到条件的时候，并不知道它怎么可以推出结论，则可以先从已知条件按照定理推出一些中间的条件(这一步可能是没有目的的，要看看从已知的条件中能够推出些什么)，接着，选择可以推出结论的那个条件继续往下推演;另外一种是从结论反推回条件，即看到结论的时候，首先要反推一下，看看S,则_，使得f(_)=y。 ●证明入射：函数f：_Y，即要证明对于任意的_
1、_2_，且_1≠_2，则f(_1) ≠f(_2);
从哪些条件可以得出这个结论(这一步也可能是没有目的的，因为并不知道要用到哪个条件)，以此类推一直到已知的条件。通常这两种思路是同时进行的。
2、反证法
反证法是证明那些“存在某一个例子或性质”，“不具有某一种的性质”，“仅存在唯一”等的题目。
它的方法是首先假设出所求命题的否命题，接着根据这个否命题和已知条件进行推演，直至推出与已知条件或定理相矛盾，则认为假设是不成立的，因此，命题得证。
3、构造法
证明“存在某一个例子或性质”的题目，我们可以用反证法，假设不存在这样的例子和性质，然后推出矛盾，也可以直接构造出这么一个例子就可以了。这就是构造法，通常这样的题目在图论中多见。值得注意的是，有一些题目其实也是本类型的题目，只不过比较隐蔽罢了，像证明两个集合等势，实际上就是证明“两个集合中存在一个双射”，我们即可以假设不存在，用反证法，也可以直接构造出这个双射。
4、数学归纳法
数学归纳法是证明与自然数有关的题目，而且这一类型的题目可以递推。作这一类型题目的时候，要注意一点就是所要归纳内容的选择。
学习离散数学的最大困难是它的抽象性和逻辑推理的严密性。在离散数学中，假设让你解一道题或证明一个命题，你应首先读懂题意，然后寻找解题或证明的思路和方法，当你相信已找到了解题或证明的思路和方法，你必须把它严格地写出来。一个写得很好的解题过程或证明是一系列的陈述，其中每一条陈述都是前面的陈述经过简单的推理而得到的。仔细地写解题过程或证明是很重要的，既能让读者理解它，又能保证解题过程或证明准确无误。一个好的解题过程或证明应该是条理清楚、论据充分、表述简洁的。针对这一要求，在讲课中老师会提供大量的典型例题供同学们参考和学习。
在学习离散数学中所遇到的这些困难，可以通过多学、多看、认真分析讲课中所给出的典型例题的解题过程，再加上多练，从而逐步得到解决。在此特别强调一点：深入地理解和掌握离散数学的基本概念、基本定理和结论，是学好离散数学的重要前提之一。所以，同学们要准确、全面、完整地记忆和理解所有这些基本定义和定理。
学好高数=基本概念透+基本定理牢+基本网络有+基本常识记+基本题型熟。数学就是一个概念+定理体系(还有推理)，对概念的理解至关重要，比如说极限、导数等
再快乐的单身汉迟早也会结婚,幸福不是永久的嘛!
爱就像坐旋转木马，虽然永远在你爱人的身后，但隔着永恒的距离。
相互牵着的手,永不放开,直到他的出现,你离开了我.
时光就这样静静的流淌,那些在躺在草地上晒太阳的时光,那些拂面吹来的风.
明知道是让对方痛苦的爱就不要让它继续下去，割舍掉。如果不行就将它冻结在自己内心最深的角落。
教学目标：
1、知识目标：结合生活实际，理解多一些、多得多、少一些、少得多的含义;能在具体情境中把握数的相对大小关系;发展学生的数感。
2、情感、能力目标：培养学生合作交流、勇于发表意见等良好的学习习惯;渗透估计的思想，发展估计意识。
教学重难点：
理解多一些、多得多、少一些、少得多的含义;在具体情境中把握数的相对大小关系。
教学流程：
一、谈话激趣，铺堑导入。
1、谈话激趣。
师：小朋友，你们去过养殖场吗?今天，小灰兔朋友要带我们去参观动物王国里的养殖场，你们想去吗?
导语：好了!现在我们可以去参观动物王国里的养殖场了，大
家请看(师出示课件)。
【设计意图：本节课通过创设“参观动物王国里的养殖场”，旨在激发学生的兴趣。但，部分学生对“多得多、多一些、少得多、少一些”理解困难，再加上教材的插图不够直观形象，不能让学生一目了然：“X比X多得多，X比X多一些”。因此，在这里，通过引导学生解决小灰兔带来的问题，让学生直观形象的感受“多得多……”的含义，让数学模型经历从直观到抽象的过渡，为新知的探索起到铺堑的作用。】
二、引导交流，理解新知。
(一)观察。师：这就是动物王国里的养殖场，多美丽呀!大家仔细瞧瞧，图上有什么?跟同桌的同学说一说。
(二)反馈。学生自由发言，师根据学生的发言并板书：
鸡85只鸭42只鹅34只
(三)说一说。师：请你们用刚才的“多得多、多一些、少得多、少一些”在小组里说一说，谁多谁少?(师巡视指导，帮助个别学习困难的小组。)
(四)想一想。课件师：请大家打开课本观察“想一想”的内容，羊可能有多少只?通过看图，你还知道了什么?(由学生自由回答，师再板书，读题后让学生独立完成。反馈交流时，让学生自我评价或评价他人。)
【设计意图：在上个环节的基础上，学生较轻松地完成“说一说”这部分内容，运用小组交流的形式，描述数量间的关系，进一步发展学生的数感。在反馈交流时，教师引导学生进行自评和他评，有助于帮助学生认识自我，建立信心。】
三、练习巩固，扎实新知。
师：小朋友!闯关游戏开始了，今天要闯三关，大家可要努力哦，比一比，看谁得的红旗多!
1、P31第1题。引导学生看清题意，再让生独立解答，最后集中交流，进行评价。
2、P31第2题。帮助理解题意，让生认真思考后做答，交流评价。
3、P31第3题。指名生说明题意，再独立思考做答。(反馈时，可能会出现两个答案，只要理由正确，可以加以肯定。)
4、游戏。
(1)师：恭喜小朋友闯完这三关，现在我们来玩个数学游戏，好不好呀?嗯，请大家注意了：
老师在纸上写了一个两位数，你们猜一猜，是多少?(根据学生的回答，教师用“多得多、多一些、少得多、少一些”加以提示。)
(2)30页，兔子有多少只?
四、总结。
师：今天玩得开心吗?你学会了什么?
调查家里成员的年龄，并用“多得多，多一些，少得多，少一些”说一说。
离散数学中证明[0,1]是不可数的可以做映射，把无理数还是映到自己。然后把(0,1)上的有理数以某种规律排出来设为r1,r2,然后把0→r1,1→r2,r1→r3,r2→r4 r(n)→r(n+2)
康托尔在1874年和1891年分别用两种不同的方法，证明了实数集是不可数集。其中1891年所用的方法更加为人所熟知，又被称为对角线法。证明发表之后，这种方法在数理逻辑中获得广泛应用。
对角线法证明实数集不可数的大致思路如下：显然实数集不是有限集。反设实数集和自然数集之间存在一个双射，设自然数0对应的实数是a0，1对应实数a1，2对应a2，……i对应ai。注意任意实数可以地表示为不以无限多个9结尾的十进制小数，可设aij为ai小数点后的第j+1位。
现在确定一个实数_，并说明它不能和任何自然数对应。_的整数部分是0;设_j为_小数点后的第j+1位，令_j=0，当aij≠0;_j=1，当aij=0。_的表示形式是一个不以无限多个9结尾的十进制小数，但是它不等于任何一个ai，因为由定义，_小数点后的第i+1位_i不等于aii。因此“实数集和自然数集之间存在一个双射”的假设不成立，所以实数集是不可数集。
等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
三角形中一边的'中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
邻补角的平分线互相垂直。
一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
两条直线相交成直角则两直线垂直。
利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
利用勾股定理的逆定理。
利用菱形的对角线互相垂直。
在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦。
利用半圆上的圆周角是直角。
结尾：非常感谢大家阅读《数学证明（汇总19篇）》，更多精彩内容等着大家，欢迎持续关注华南创作网「hnchuangzuo.com」，一起成长！
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